Sherlock Holmes trong đoạn trích hiện lên là một thiên tài suy luận với phong cách làm việc khoa học và lý trí đến mức lạnh lùng. Ông không chỉ là một thám tử, mà còn là một nhà khoa học thực thụ, biến mỗi vụ án thành một bài toán cần giải. Điều này thể hiện rõ trong cách ông tiếp cận chiếc mũ, phân tích tỉ mỉ từng dấu vết vật chất như mảnh vụn, vết bẩn để suy ra cuộc đời, tính cách và cả hoàn cảnh của chủ nhân. Sự chính xác đến từng chi tiết nhỏ nhất như kích thước đầu, thói quen đi lại cho thấy trí óc quan sát và kết nối logic siêu phàm của ông. Bên cạnh trí tuệ, tính cách của Holmes còn thể hiện sự kiêu ngạo đầy tự tin của một bậc thầy. Khi phơi bày suy luận của mình, ông không giấu sự khinh bỉ trước sự chậm hiểu của người khác, nhưng chính sự thẳng thắn, thậm chí có phần khó chịu ấy lại làm nên nét quyến rũ đặc biệt của nhân vật. Holmes không phải là một anh hùng tình cảm, mà là biểu tượng của lý trí, của niềm tin tuyệt đối vào khoa học và những bằng chứng cụ thể, để từ đó vén lên bức màn bí ẩn phức tạp của hiện thực.

Câu 2:

Trong bối cảnh toàn cầu hóa diễn ra mạnh mẽ như hiện nay, thế hệ trẻ chính là lực lượng nòng cốt, mang trên vai trách nhiệm thiêng liêng và nặng nề đối với vận mệnh của đất nước. Trách nhiệm ấy trước hết thể hiện ở việc mỗi người trẻ phải không ngừng nâng cao tri thức và năng lực bản thân. Đó là quá trình học tập nghiêm túc, tiếp cận những thành tựu khoa học công nghệ tiên tiến của thế giới, đồng thời rèn luyện các kỹ năng mềm cần thiết để hội nhập. Có như vậy, chúng ta mới có đủ bản lĩnh và trình độ để sánh vai với bạn bè năm châu, tiếp thu tinh hoa nhân loại một cách có chọn lọc. Tuy nhiên, trách nhiệm còn sâu xa hơn ở việc giữ gìn và phát huy bản sắc dân tộc. Trong dòng chảy văn hóa đa dạng, việc hiểu biết sâu sắc về lịch sử, tự hào về truyền thống dân tộc chính là nền tảng vững chắc để mỗi người trẻ có một "lõi" văn hóa không thể bị hòa tan. Bên cạnh đó, lớp trẻ cũng cần có ý thức trách nhiệm với cộng đồng, sống tích cực và có ích, biến khát vọng cống hiến thành những hành động cụ thể, dù là nhỏ bé trong công việc hằng ngày. Những hành động ấy, dù ở bất cứ lĩnh vực nào, đều góp phần kiến tạo một Việt Nam hùng cường và thịnh vượng. Tóm lại, trách nhiệm của thế hệ trẻ với đất nước trong thời kỳ hội nhập là một sứ mệnh kép: vừa phải không ngừng học hỏi để bắt kịp xu thế, vừa phải giữ vững cội nguồn để không bị hòa lẫn, từ đó chung tay xây dựng một tương lai tươi sáng cho dân tộc.

Câu 1. 

Thể loại: Truyện trinh thám. 

Câu 2. 

Ngôi kể: Ngôi thứ ba. 

Câu 3. 

– HS chỉ ra được kiểu câu ghép: Câu ghép đẳng lập.  

– HS xác định được quan hệ ý nghĩa giữa các vế của câu ghép:

+ Vế 1: Tôi bắt đầu xem xét đoạn đường dẫn đến ngôi nhà.

+ Vế 2: tôi thấy rõ những vệt bánh xe, loại xe nhỏ hai chỗ chở thuê.

+ Vế 3: tôi biết chắc là xe này đã đậu ở đấy đêm trước.

=> Các vế câu được nối với nhau bởi kết từ và, thể hiện quan hệ bổ sung giữa các vế câu. 

Câu 4. 

Vụ án này được coi là một vụ án nan giải, hóc búa vì:

– Trên thi thể của nạn nhân không hề có vết thương nào nhưng trong căn phòng lại có nhiều vết máu.

– Tại hiện trường vụ án có nhiều điểm đáng ngờ như chiếc nhẫn cưới, chữ viết “Rache” trên mé tường tối tăm và dưới thi thể của nạn nhân thứ hai.

– Hai vụ án xảy ra liên tiếp khiến cho các điều tra viên phải đau đầu vì khó mà xác định được nghi phạm và động cơ gây án thực sự.  

Câu 5. 

– HS dựa vào cách lập luận của Holmes trong văn bản để đưa ra nhận xét khái quát.  

– Ví dụ: Holmes là một thám tử tài ba vì ông có cách lập luận vô cùng chặt chẽ, giàu sức thuyết phục:

+ Trước một vụ án nan giải, ông đã tư duy ngược để tìm ra hung thủ thực sự dựa trên cái nhìn khách quan, công bằng.

+ Ông còn tận dụng được triệt để các manh mối, dù là manh mối nhỏ nhất bị cảnh sát bỏ qua để xác lập nên các giả thiết, thu hẹp các khả năng để từ đó tìm ra hung thủ. 

Đặt \(t = \sqrt[3]{x^{3} - 2}\) suy ra \(x^{3} - 2 = t^{3}\) (2)

Từ (1) trở thành: \(5 x^{2} - 12 x + 6 - 2 t^{2} + 5 t = 0\)

\(5 x^{2} - 12 x + 6 = 2 t^{2} - 5 t\) (3)

Lấy (2) trừ (3) ta có: \(x^{3} - 5 x^{2} + 12 x - 8 = t^{3} - 2 t^{2} + 5 t\)

\(\left(\right. x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 \left.\right) - \left(\right. t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 \left.\right) + t^{2} - 2 t + 1 = 0\)

\(\left(\right. x - 2 \left.\right)^{3} - \left(\right. t - 1 \left.\right)^{3} + \left(\right. t + 1 \left.\right)^{2} = 0\) (4) 

Đặt \(a = x - 2 , b = t - 1\) suy ra \(x = a + 2 , t = b + 1\)

Suy ra (4) trở thành: \(a^{3} + \left(\right. a + 2 \left.\right)^{2} = b^{3} + \left(\right. b + 2 \left.\right)^{2}\)

\(a^{3} - b^{3} + \left(\right. a + 2 \left.\right)^{2} - \left(\right. b + 2 \left.\right)^{2} = 0\)

\(\left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. a^{2} + a b + b^{2} \left.\right) + \left(\right. a + 2 - b - 2 \left.\right) \left(\right. a + 2 + b + 2 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. a^{2} + a b + b^{2} \left.\right) + \left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. a + b + 4 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. a^{2} + a b + b^{2} + a + b + 4 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. a - b \left.\right) \left[\right. \&\text{nbsp}; \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + 6 \left]\right. \&\text{nbsp}; = 0\)

\(a = b\)

⚡ Với \(a = b\) ta có: \(x - 2 = t - 1\) hay \(t = x - 1\)

⚡ Với \(t = x - 1\) ta có: \(\sqrt[3]{x^{3} - 2} = x - 1\)

\(x^{3} - 2 = \left(\right. x - 1 \left.\right)^{3}\)

\(3 x^{2} - 3 x - 1 = 0\)

\(x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là \(S = \left{\right. \&\text{nbsp}; \frac{3 - \sqrt{21}}{6} ; \&\text{nbsp}; \frac{3 + \sqrt{21}}{6} \left.\right}\).

1) Gọi \(N\) là trung điểm của \(A I\).

Ta có \(I H \bot A B\) suy ra \(\hat{I H A} = 9 0^{\circ}\)

Tam giác \(A H I\) vuông tại \(H\) có trung tuyến \(H N\) ứng với cạnh huyền nên \(A N = N I = N H = \frac{1}{2} A I\) (1)

Ta có \(I K \bot \&\text{nbsp}; A C\) suy ra \(\hat{A K I} = 9 0^{\circ}\)

Tam giác \(A K I\) vuông tại \(K\) có trung tuyến \(K N\) ứng với cạnh huyền nên \(A N = N I = N K = \frac{1}{2} A I\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra  \(A N = N I = N K = N H\) hay bốn điểm \(A , H , I , K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(A I\).

2) Ta có \(I\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(B C\) suy ra \(I B \&\text{nbsp}; = I C\) hay \(\hat{I A B} = \hat{I A C}\).

Xét hai tam giác vuông \(\Delta I A H\) và \(\Delta I A K\) có:

\(I A\) chung;

\(\hat{I A B} = \hat{I A C}\) (chứng minh trên)

Do đó, \(\Delta I A H = \Delta I A K\) (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra \(I H = I K\) nên \(\Delta I H K\) cân tại \(I\).

Ta có \(A H I K\) là tứ giác nội tiếp nên \(\hat{H A K} + \hat{H I K} = 18 0^{\circ}\).

\(A B I C\) là tứ giác nội tiếp nên \(\hat{B A C} + \hat{B I C} = 18 0^{\circ}\).

Suy ra \(\hat{H I K} = \hat{B I C}\).

Gọi số ha rừng lâm trường dự định trồng trong mỗi tuần là \(x\) (ha; \(x > 0\)).

Thời gian trồng rừng theo kế hoạch là: \(\frac{75}{x}\) (tuần)

Thời gian trồng rừng thực tế là: \(\frac{80}{x + 5}\) (tuần)

Vì thực tế hoàn thành sớm hơn dự định \(7\) ngày \(= 1\) tuần nên ta có phương trình:

\(\frac{75}{x} - \frac{80}{x + 5} = 1\)

\(x^{2} + 10 x - 375 = 0\)

\(\left(\right. x - 15 \left.\right) \left(\right. x + 25 \left.\right) = 0\)

\(x = 15\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 25\) (loại)

Vậy số ha rừng lâm trường dự định trồng trong một tuần là \(15\) ha.

1) Giải phương trình \(x^{4} - 7 x^{2} + 12 = 0\).

Đặt \(t = x^{2}\) với \(t \geq 0\).

Khi đó phương trình trở thành: \(t^{2} - 7 t + 12 = 0\) (1)

\(\Delta_{t} = \left(\right. - 7 \left.\right)^{2} - 4.1.12 = 1 > 0\)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

\(t_{1} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2.1} = 4\) (thỏa mãn);

\(t_{2} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2.1} = 3\) (thỏa mãn).

⚡ Với \(t = 4\) thì \(x^{2} = 4\) suy ra  \(x = \pm 2\)

⚡ Với \(t = 3\) thì \(x^{2} = 3\) suy ra \(x = \pm \sqrt{3}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left{\right. - \sqrt{3} ; \sqrt{3} ; - 2 ; 2 \left.\right}\).

2) a) \(\Delta = \left[\right. - \left(\right. 2 m - 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 4 m^{2} - 4 m + 1 - 4 m + 4\)

\(= 4 m^{2} - 8 m + 5 = 4 \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} + 1 > 0\)

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) nên theo hệ thức Viète, ta có:

\(x_{1} + x_{2} = 2 m - 1\) và \(x_{1} x_{2} = m - 1\)

Theo đề bài, ta có: \(x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 2 m^{2} - m\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) . \left(\right. x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \left.\right) = 2 m^{2} - m\)

\(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right) . \left[\right. \&\text{nbsp}; \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} \left]\right. \&\text{nbsp}; = 2 m^{2} - m\)

\(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right) . \left[\right. \&\text{nbsp}; \left(\right. 2 m - 1 \left.\right)^{2} - 3 \left(\right. m - 1 \left.\right) \left]\right. \&\text{nbsp}; = 2 m^{2} - m\)

\(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right) . \left(\right. 4 m^{2} - 4 m + 1 - 3 m + 3 \left.\right) = 2 m^{2} - m\)

\(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right) . \left(\right. 4 m^{2} - 7 m + 4 \left.\right) = 2 m^{2} - m\)

\(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right) \left(\right. 4 m^{2} - 7 m + 4 \left.\right) - \left(\right. 2 m^{2} - m \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right) \left(\right. 4 m^{2} - 7 m + 4 \left.\right) - m \left(\right. 2 m - 1 \left.\right) \&\text{nbsp}; = 0\)

\(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right) \left(\right. 4 m^{2} - 8 m + 4 \left.\right) = 0\)

\(4 \left(\right. 2 m - 1 \left.\right) \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} = 0\)

\(m = 1\) hoặc \(m = \frac{1}{2}\).

Vậy \(m \in \left{\right. 1 , \frac{1}{2} \left.\right}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

1) Thay \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(Q\) ta có:

\(Q = \frac{\sqrt{9} + 3}{\sqrt{9} + 1} = \frac{3 + 3}{3 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)

Vậy với \(x = 9\) thì \(Q = \frac{3}{2}\).

2) Với \(x \geq 0 ; x \neq 1\) ta có:

\(P = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}} - \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}\)

\(= \frac{\sqrt{x} - 1 + \sqrt{x} \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right) - 3 \sqrt{x}}{\left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)}\)

\(= \frac{\sqrt{x} - 1 + x + 2 \sqrt{x} - 3 \sqrt{x}}{\left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)}\)

\(= \frac{x - 1}{\left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)}\) \(= \frac{\left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 1 \left.\right)}{\left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)}\) \(= \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}\).

3) \(M = P . Q = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} . \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1}\)

\(= \frac{\left(\right. \sqrt{x} + 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 3 \left.\right)}{\left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 1 \left.\right)}\)

\(= \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}\)

Ta có \(\sqrt{x} \geq 0\) với \(x \geq 0\); suy ra \(\sqrt{x} + 2 \geq 2\).

Suy ra \(\frac{1}{\sqrt{x} + 2} \leq \frac{1}{2}\)

Do đó, \(M \leq 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x} = 0\) tức là \(x = 0\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của \(M\) là \(\frac{3}{2}\) khi \(x = 0\).

Ta có: \(\Delta = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 8 m = m^{2} - 4 m + 4 = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} \geq 0 , \forall m\).

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) với mọi \(m\) khi \(m \neq 2\).

Áp dụng hệ thức Viète ta có \(x_{1} + x_{2} = - m - 2 ; x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = - 2 m - 4 ; x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + x_{1} x_{2} = - 4\)

Biểu thức liên hệ giữa \(x_{1} , x_{2}\) không phụ thuộc vào tham số \(m\) là \(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + x_{1} x_{2} = - 4\).

Ta có \(a . c = - 1 < 0\) nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm \(x_{1} , x_{2}\) phân biệt.

Theo định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 1\) và \(x_{1} . x_{2} = - 1\)

Ta có:

\(P \left(\right. x_{1} \left.\right) = P \left(\right. x_{2} \left.\right)\)

\(3 x_{1} - \sqrt{33 x_{1} + 25} = 3 x_{2} - \sqrt{33 x_{2} + 25}\)

\(3 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \left(\right. \sqrt{33 x_{1} + 25} - \sqrt{33 x_{2} + 25} \left.\right) = 0\)

\(3 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \frac{33 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)}{\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25}} = 0\)

\(1 - \frac{11}{\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25}} = 0\)

\(\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25} = 11\)

\(\left(\right. \sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25} \left.\right)^{2} = 121\)

\(33 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 50 + 2 \sqrt{\left(\right. 33 x_{1} + 25 \left.\right) \left(\right. 33 x_{2} + 25 \left.\right)} = 121\) (*)

Ta có VT(*) \(= 33.1 + 50 + 2 \sqrt{3 3^{2} x_{1} x_{2} + 33.25 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 2 5^{2}}\)

\(= 83 + 2 \sqrt{- 3 3^{2} + 2 533 + 2 5^{2}}\)

\(= 83 + 2 \sqrt{361} = 83 + 83 = 121 =\) VP.

Ta có \(\Delta_{1} , \Delta_{2} > 0\) suy ra hai phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète ta có:

\(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = - 2 024 ; x_{1} . x_{2} = 2 \\ & x_{3} + x_{4} = - 2 025 ; x_{3} . x_{4} = 2\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) = x_{1}^{2} + x_{1} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{1}^{2} - 2 025 x_{1} + 2\).

Lại có \(x_{1}\) là nghiệm phương trình \(x^{2} + 2 024 x + 2 = 0\) nên:

\(x_{1}^{2} + 2 024 x_{1} + 2 = 0\)

\(x_{1}^{2} - 2 025 x_{1} + 2 + 4 049 x_{1} = 0\)

\(x_{1}^{2} - 2 025 x_{1} + 2 = - 4 049 x_{1}\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} + x_{4} \left.\right) = - 4 049 x_{1}\) (1) 

Tương tự: \(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{2}^{2} + 2 025 x_{2} + 2\)

Mà \(x_{2}\) là nghiệm phương trình \(x^{2} + 2 024 x + 2 = 0\) nên

\(x_{2}^{2} + 2 024 x_{2} + 2 = 0\)

\(x_{2}^{2} + 2 025 x_{2} + 2 - x_{2} = 0\)

\(x_{2}^{2} + 2 025 x_{2} + 2 = x_{2}\)

\(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} + x_{4} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = - 4 049 x_{1} . x_{2}\)

hay \(A = - 4 049 x_{1} x_{2} = - 4 049.2 = - 8 098\).

Vậy \(A = - 8 098\).